空间向量与立体几何,空间向量在立体几何中的应用

空间向量与立体几何,空间向量在立体几何中的应用
空间向量作为新加入的内容空间向量与立体几何，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 

如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键． 

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 

以下用向量法求解的简单常识： 

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得 或对空间一定点O有 

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 

3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 （k∈R）． 

4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 ． 

5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题． 

6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： ． 

7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 

首先该图形能建坐标系 

如果能建 

则先要会求面的法向量 

求面的法向量的方法是 1。尽量在土中找到垂直与面的向量 

2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 

然后因为法向量垂直于面 

所以n垂直于面内两相交直线 

可列出两个方程 

两个方程，三个未知数 

然后根据计算方便 

取z（或x或y）等于一个数 

然后就求出面的一个法向量了 

会求法向量后 

1。二面角的求法就是求出两个面的法向量 

可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 

如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交 

那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角 

如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交 

那么上面两向量的夹角就是所求 

2。点到平面的距离就是求出该面的法向量 

然后在平面上任取一点（除平面外那点在平面内的射影） 

求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1 

点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求

一般用立体几何大的用有两方面：求解和证明，而且各种考题基本也都是这样，你不信试试看看立体几何的考题，看看它的问法，不是求就是证明，所以学空间向量也是学会求解和证明就Ok了。 

 求解（4种） 

 ①两直线的夹角：求他们的向量，用夹角公式（会吧）求余弦。 

 ②线面角：求线与平面的法向量的向量，用夹角公式求余弦，即线面角的正弦。 

 ③二面角：即两平面的法向量的夹角，用两向量的夹角公式求法向量夹角的余弦 

 ④点到面的距离h：任找一过点的平面的斜线，你可以求平面的法向量，然后就可以求出 他们的夹角的余弦，设为cosα而h=斜线的长*cosα（自己画图看看） 

 证明：（有6种） 

 ①线线平行：（一般不用向量证）建立空间直角坐标系，求线段的向量，由两直线平行的判定定理证明是否平行。 

 ②线面平行：（一般也不用向量证）建立空间直角坐标系，求线段的向量，你证此向量和平面的法向量垂直了，同时线不在平面上，就证明线面平行了。 

 ③面面平行：证法向量平行。 

 ④线线垂直：更简单了，建立空间直角坐标系，求线段的向量，由两直线垂直的判定定理证明是否垂直。（类似线线平行的证明） 

 ⑤线面垂直：线段的向量和平面的法向量平行或重合。 

 ⑥面面垂直：两法向量垂直，或证两平面的二面角为90°